小 T 正在研究某段时间中所发生的事件。经观测，有 $n$ 个编号为 $1 \sim n$ 的事件在这段时间内按顺序依次发生，第 $i$ 个发生的是事件 $p_i$。这个描述事件发生顺序的排列 $p$ 可称为这段时间的时间线。
突然，邪恶生物小 S 攻击了这条时间线，将这 $n$ 个事件的发生顺序 $p$ 变为了在所有长为 $n$ 的排列中等概率随机选取的一个排列。不仅如此，小 S 还用剪刀把时间线剪断，通过进行 $k$ 次操作，将排列 $p$ 分割成了 $(k+1)$ 段。
具体而言，在小 S 进行第 $i$ 次操作时，排列 $p$ 和之前所有插入的剪断点构成了一个长度为 $(n+i-1)$ 的序列。该序列包括所有相邻元素之间和序列开头、末尾处共有 $(n+i)$ 个插入位置。小 S 将从这些插入位置中等概率随机选取一个位置，插入一个新的剪断点。最后，小 S 从最终被插入的 $k$ 个剪断点处把序列剪开，将排列 $p$ 分割成了 $(k+1)$ 段序列。这 $(k+1)$ 段序列中可能有空序列。
为了拯救这条即将毁灭的时间线，小 T 决定把这 $(k+1)$ 段序列按某种顺序重新拼接成一个长度为 $n$ 的排列，形成一条新的时间线。不过，由于事件之间存在一定的逻辑关系，事件的发生时间之间也存在一些先后顺序要求。经研究，共存在 $m$ 条先后顺序要求 $(u,v)$，要求事件 $u$ 的发生时间必须在事件 $v$ 之前。也就是说，$u$ 在时间线中的出现位置必须在 $v$ 之前。
请你设计程序，计算有多大的概率，存在至少一种重新排列这 $(k+1)$ 段序列，并将其重新拼接为一条新的时间线的方案，能够使所有的 $m$ 条事件发生时间之间的先后顺序要求都得到满足。
为了避免精度误差，请你输出答案对 $10^9 + 7$ 取模的结果。形式化地，可以证明答案可被表示为一最简分数 $\frac{p}{q}$，请你输出一个 $x$ 满足 $0 \le x < 10^9 + 7$ 且 $qx \equiv p \mod (10^9 + 7)$。可以证明在题目条件下这样的 $x$ 总是存在。

第一行三个整数 $n, m, k$，分别描述事件的个数，事件之间先后顺序的条数以及小 S 进行的剪断操作次数。
接下来 $m$ 行，每行两个整数 $u, v$，表示一条事件发生时间的先后顺序要求。

输出一行一个整数，表示所求答案。

【样例 1 解释】
假如事件 1 的发生时间早于事件 2，那么无论怎样拼接都是可行方案，一定可以满足要求。否则，只有剪断时间线的位置位于事件 1 和事件 2 的发生时间之间，才能满足要求。答案为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。

【样例 2 解释】
没有任何事件发生时间之间的先后顺序要求，因此无论怎样拼接都是可行的方案，答案为 1。
【样例 4】
见附件中的 timeline/timeline4.in 与 timeline/timeline4.ans。
【样例 5】
见附件中的 timeline/timeline5.in 与 timeline/timeline5.ans。
该组样例满足数据范围中的特殊性质 B。
【样例 6】
见附件中的 timeline/timeline6.in 与 timeline/timeline6.ans。
该组样例满足数据范围中的特殊性质 A。
【样例 7】
见附件中的 timeline/timeline7.in 与 timeline/timeline7.ans。
【子任务】

• $1 \leq n \leq 15$,
• $0 \leq m \leq \frac{n(n-1)}{2}$, $0 \leq k \leq n$,
• $1 \leq u < v \leq n$, 保证不存在两对 $(u, v)$ 完全相同。
  
  特殊性质 A：对于每个事件 $x$，至多存在一条先后顺序 $(u, v)$ 使得 $v = x$。
  特殊性质 B：对于所有先后顺序 $(u, v)$，均满足 $u = 1$。